Inecuaciones

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ACADEMIA “JORGE BASADRE”
MICAELA BASTIDAS Nº 220 – SAN MIGUEL / TELEF.: 4059079
Desde 1978 formando a lo más excelente de la juventud peruana
ÁLGEBRA
Prof.: Ing. Henry Brañez Vilchez.
INECUACIONES
a) Definición. Una inecuación es una
desigualdad en las que hay una o
más
cantidades
desconocidas
(incógnita) y que sólo se verifica
para determinados valores de la
incógnita o incógnitas.
–
Ejemplo. La desigualdad: 2x + 1 >
x + 5, es una inecuación por que
tiene una incógnita “x” que se
verifica para valores mayores que 4.
–
a
–
b
Intervalo abierto en a y cerrado
en b.
= {x  R / a  x = {x  R / x  a}
a
= {x  R / x > a}
Intervalo cerrado. [a, b].
[a, b] = {x  R / a  x  b}
a
.
= {x  R / a = {x  R / x = {x / x  R} = R
-1-
solución de una inecuación a todos
los números reales que la verifiquen,
es decir, que dichos números reales
dan la desigualdad en el sentido
prefijado.
 = {x  R / x  a}
a
d) Resolución de una inecuación. El
resolver una inecuación consiste en
hallar un conjunto solución; es decir,
encontrar el intervalo donde están
los valores que puede tomar la
incógnita para que verifique la
inecuación.
NOTAS:
1) Si x  [a, b]  a  x  b
Ejemplo.
Demostrar que: sí x  [2, 4]
entonces 2x + 3  [7, 11].
INECUACIÓN DE PRIMER
GRADO EN UNA INCÓGNITA.
Las inecuaciones de primer grado en
una incógnita, son de la forma:
Desarrollo.
x  [2, 4]  2  x  4,
multiplicando por 2.
4  2x  8, sumando 3
7  2x + 3  11
ax + b > 0 ó ax + b 0, es decir,
sí a > 0, entonces:
sí 7  2x + 3  11  2x + 3  [7,11]
por lo tanto; sí x  [2, 4]  2x + 3
 [7, 11].
x −
2) Sí x   a
 x  .
b
a
Desarrollo.
2x – 6   -4
–
b
a
Luego la solución es dado en la
b
forma: x   − , +   ó
x 
a
b
− , −  .
a
INECUACIÓN DE SEGUNDO
GRADO EN UNA INCÓGNITA
Por lo tanto, sí 2x – 6  
x  .
c) Conjunto
solución
de
una
inecuación. Se llama conjunto
-2-
factor (x – r2) es negativo, luego el
trinomio ax2 + bx + c, tiene signo
opuesto del coeficiente de “a”.
Las inecuaciones de segundo grado en
una incógnita son de la forma:
ax2 + bx + c > 0 ó
ax2 + bx + c 0 … (1)
al analizar el valor numérico de la
ecuación (1) dando valores reales a
“x” se presentan tres casos:
3º Caso.
Si  = b2 – 4ac 0, entonces hay dos
valores reales diferentes r1 0, a > 0
ax2 + bx + c 0
Raíces de la ecuación
ax2 + bx + c = 0
Raíces diferentes
r1 
R – {r}
R



Una inecuación polinómica en una
incógnita, es de la forma siguiente:
Cuando las raíces de la ecuación
polinómica p(x) = 0, son reales
diferentes. Es decir: r1 0 ó
P(x) 0.
Para esto hallaremos primero las
raíces
del
polinomio
n
P(x) = a n x + …. + a1 x + a 0 = 0 , y como
En los intervalos consecutivos
determinados por las raíces del
polinomio P(x) = 0, se alternan los
signos “+” y “-” reemplazando
por asignar el signo (+) al
intervalo .
+
+
••••• rn-3
rn-2
rn-1
–
+
rn
Si la inecuación polinómica es de
la
forma
n
a n x + …. + a1 x + a 0  0 ,
P(x) =
an > 0; al conjunto solución será la
unión de los intervalos a los
cuales se le ha asignado el signo
“+”.
éste polinomio es de grado n
entonces tiene n raíces, lo cual
pueden ser reales diferentes, reales
de multiplicidad y no reales.
–
Si la inecuación polinómica es de
la
forma
n
a n x + …. + a1 x + a 0  0 ,
P(x) =
an > 0; el conjunto solución, será
la unión de los intervalos a los
1º Caso.
-4-
cuales se le ha asignado el signo
“-”.
Cuando alguna de las raíces del
polinomio P(x) = 0, no son reales, en
este caso a estas raíces no se
consideran en la determinación de
los intervalos y para dar la solución
se sigue el mismo procedimiento de
los casos anteriores.
2º Caso.
Si algunas de las raíces del
polinomio P(x) = 0 son reales de
multiplicidad de orden mayor que 1
se tiene:
–
Cuando
el
orden
de
la
multiplicidad de una de las raíces
del polinomio P(x) = 0 es par, en
este caso a la raíz no se considera
para la determinación de los
intervalos y para dar la solución
se sigue el mismo proceso del
1º Caso.
OBSERVACIÓN. Una forma práctica
de simplificar las inecuaciones que
tienen factores de multiplicidad es
aplicando las propiedades siguientes:
 a, b  R, n  N, entonces:
1. a 2n . b  0  b  0  a = 0
2. a 2n . b  0  b  0  a  0
–
Cuando
el
orden
de
la
multiplicidad de una de las raíces
del polinomio P(x) = 0, es impar,
en este caso a la raíz se considera
para la determinación de los
intervalos y para dar la solución
se sigue el mismo proceso del
1º Caso.
3º Caso.
3. a 2 n +1 . b  0  a . b  0
4. a 2 n +1 . b  0  a . b  0
PROBLEMAS PROPUESTOS
1)
La
solución de
6 − 3x
2x −
 4 es:
4
la
inecuación
a)
c)
e)
b)
d)
a) 3
d) 9
3)
b) 5
e) 11
El
conjunto solución de
2x + 6 x
−  5 es:
inecuación
3
4
a)
2)
¿Cuántos
verifican
valores
naturales
el
conjunto
de
x+3 x−2 x+4


inecuaciones
?
4
3
5
c)
5
b)
d)
la
e)
4)
8)
Resuelve
la
inecuación
x+3 x+2
+
 2 + x e indique el
3
2
mayor entero que la verifica.
a) R
d)
9)
a) -2
d) 1
b) 2
e) 3
Hallar el conjunto solución de la
inecuación: 5x – 2
2 5
b)  , 
 3 3
c) [1, 3>
d) [-1, 1>
11
>
2
d)
10) Resuelva
la
inecuación
en
3x + 3
x
 5 x + 5 , siendo a
d) [0, 5>
x
b)
Hallar el conjunto solución de
3(x – 5) – 4(4 – 3x)  2(7 – x) –
3(x – 5).
a) [6, >
c)
e)
7)
b) 2
e) 5
c) 
La
a) 
5)
b)
e)
b) 0
e) 3
c) -1
11) Resuelva
la
inecuación
5x
− 6  2 − x  x e indique cuántos
3
enteros la verifican.
que
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
12) Si a > b, resuelva: a(x + b) – b(x – a)
 a2 + b2 e indique cuántas
soluciones negativas tiene la
inecuación.
e) [0, 5>
-6-
a) 2
d) 3
b) 1
e) 4
c) 0
13) Si
a

c)
e)
a) 1
d) 4
resolver
a) {x  R / -
d)
3
a) no existe solución real.
b) x
3
16
b) −
5
16
d)
19
16
e) −
11
16
c)
c) x > –
33
10
e) x
b) a 
c) a 
d) a 
e) a 
4 − 5x
7
y
3
determine el mayor valor entero
16) Resolver:
33
10
d) x > 0
1
15) Si
 [1,8]. Determine el
2x − 1
menor valor de “x”.
a) −
c) 3
17) Encontrar todos los números reales
que satisfacen la desigualdad
x2 + 7x + 12 > 0.
b)
d)
13
a)  ,  
3
b) 2
e) 5
−1 
que lo verifican.
-7-
20) ¿Entre qué límites debe estar
comprendido “n” para que la
3
inecuación x2 + 2nx + n >
, se
16
verifique que para todo valor real
x?
a)
1
1
n
4
2
b)
a) 6
d) 24
c) 18
24) Resolver la inecuación:
-4×2 + 4x + 3 > 0, e indicar la
cantidad de números enteros que
verifican a la inecuación.
1
3
n
4
4
a) 1
d) 4
1
5
d)  n 
4
4
c) 2 .
21) Resolver: 5x – 1
c) 
a) 10
d) 40
b)
c) 20
5 − 33
5 + 33
, 1   2 ,

2
2
d)
26) Al resolver la inecuación en x:
x2 + 2(2 – 3)x + 36m , calcular
 +  + m.
e) 
22) Para qué valor de “n”, la
inecuación (3n2 – n)x2 + (2n – 9)x +
2n2 – 5
d) 
a)
c) R
e)
c) − 1,
−1+ 5
2
d)
29) Hallar la solución de la inecuación:
5×2 – 14x + 9  0.
 9
a) 1 , 
 5
b) [1, 5]
d) [1, 9]
e) [-1, 1]
e) −  ,
c) [5, 9]
32) Resuelva: x(2x + 1)(x – 2)(2x – 3) >
63, indique el producto de valores
enteros negativos mayores que -5.
a) -24
d) -8
30) Resuelva: (3x + 1)3(x – 2)2(x + 5)5
(x – 2)4(4 – x)  0.
a)  {2}
3

a) [-2, 3]  [1, 3]  {-4}
b) [-2, 3]  {-4}
c) [2, 5]
d) [-5, -3]
e) [-1, 1 >
c) [-5, -2]
1
d) −  , −   [4, >  {2}
3
 1 
e)
1+ 5
b) − 1,
2
5
c) − , − 1   1, 3 
2
-9-
39) Resolver
la
inecuación
2
2
3
7
(6x + 3) (x – 1) (3x – 5)
b)
3
, 1
5
e)
c) 1,
5
3
35) Resolver:
2003( x − 2) 7 (1 − x)(3x − 1) 8
0
2004
d)
a)
b) R
c)
d)
40) La solución de la inecuación
x4 – 3×3 + 5×2 – 27x – 36
c)
e)
36) Hallar la menor solución negativa
de la inecuación:
(x5 – 2×4 – x2 + 4x)(x2 + x – 2)  0
a) -3
d) -3
b) -2
e) -1
41) La solución de la inecuación
(3 – x)3(x2 – 1)2(1 – x)5 x > 0, es:
c) -5
a) 
b) 
c)
d)
e)
37) Hallar la solución de la inecuación:
x4 + 2×3 – x2 + 4x – 6
c)
e)
b)
d)
42) El conjunto solución de:
x4 – 3×2 – 6x – 2 ,
calcular a · b.
38) Resolver la inecuación:
(x3 – 5×2 + 7x – 3)(2 – x)  0
a) [1, 2]
c) [3, 4]
e) [5, 6]
b)
d)
a) -5
d) 1
b) [2, 3]  {1}
d) [4, 5]
– 10 –
b) -3
e) 3
c) -1
…